Механизм спонтанного нарушения симметрии и механизм Хиггса в теории поля

Ниже мы приводим основные элементы математического аппарата, владение которым необходимо для углубленного понимания природы бозона Хиггса. Проиллюстрируем сначала механизм спонтанного нарушения симметрии на простейшей модели. Механизм спонтанного нарушения симметрии также называют механизмом Хиггса, или механизмом Энглера-Браута-Хиггса-Гуралника-Хагена-Киббла.

 

Плотность лагранжиана (или просто «лагранжиан») действительного скалярного поля ϕ, описывающего незаряженную бесспиновую частицу, имеет вид

 

ФОРМУЛА

 

и обладает дискретной симметрией относительно операции зеркального отражения поля, ϕ —> -ϕ. ВL(ϕ) и ниже по всем значениям греческих индексов μ, ν, ... = 0, 1, 2, 3 производится суммирование.

 

Положим, λ > 0. В случае μ2 > 0 поле ϕ является массивным. В случае μ2 < 0 поле является безмассовым, и симметричный потенциал - ½μ2ϕ2 + - ¼λϕ4 имеет два симметричных по отношению друг к другу минимума в точках ФОРМУЛА.

 

Эти минимумы — «вакуумные состояния». В результате преобразования симметрии ϕ —> -ϕ они переходят друг в друга и, следовательно, не являются инвариантными по отношению к преобразованию. В этом случае говорят о спонтанном нарушении симметрии вакуумного состояния.

 

Теория возмущений позволяет принять во внимание квантовые поправки. Для ее построения необходимо выбрать одно из минимальных (вакуумных) состояний поля ϕ. Выберем, например, состояние ФОРМУЛА и представим поле ϕ в виде ϕ(х) = η(x) + ν. Тогда лагранжиан L(ϕ) представляется в следующем виде:

 

L(η) = ∂μη∂μη - ν2λη2 + полиномиальная функция (ν, λ, η3, η4).

 

Вследствие наличия слагаемого, пропорционального η3, лагранжиан L(η) не инвариантен относительно операции инверсии η —> -η, но с физической точки зрения он полностью тождественен лагранжиану L(ϕ). Таким образом, в L(η) исходная симметрия нарушается, или, говоря по-другому, является скрытой. При этом минимуму ϕ(х) = v соответствует минимум η = 0.

 

По словам физика-теоретика Юана Малдасены, мы нуждаемся в элегантности, простоте, то есть симметриях, которым соответствуют силы природы, но также и в сложном, загадочном — в нарушениях симметрий, или «скрытых симметриях», которым соответствует механизм Хиггса [Maldacena 2012]. Можно аргументировать, что «скрытые симметрии» вовсе и не симметрии, а сложные механизмы.

 

Принципиальное различие между полями и η в том, что последнее является массивным. В результате проведенной выше манипуляции, которая называется механизмом спонтанного нарушения симметрии, возникает лагранжиан скалярного поля η с массой ФОРМУЛА.

 

В чуть более сложном случае, когда поле ϕ(х) — комплексное (заряженное), лагранжиан имеет следующий вид:

 

ФОРМУЛА

 

Он инвариантен относительно преобразований группы глобальной U(1)-симметрии, то есть относительно операции

 

ФОРМУЛА

 

где α — произвольное действительное число.

 

ФОРМУЛА

 

где γ — произвольное действительное число. Имеется, таким образом, целый континуум вакуумных состояний.

 

Выберем γ = 0. Тогда

 

ФОРМУЛА

 

Перейдем к полям η(x), ξ(х), где ϕ(х)1 = η(x) + ν, ϕ(х)2 = ξ(х). В новых переменных лагранжиан приобретает вид

 

ФОРМУЛА

 

где f — некоторая полиномиальная функция (в частности, f не инвариантна относительно операции η -> η). Как видно, поле η имеет массу -2μ2, а поле ξ — безмассовое. ξ — так называемый голдстоуновский бозон.

 

При высоких энергиях параметр μ2 положителен. При переходе к низким энергиям он меняет свой знак на отрицательный. Этому соответствует фазовый переход системы из состояния с явной симметрией, в котором все частицы являются безмассовыми, в состояние с нарушенной симметрией.

 

В случае калибровочных (локально калибровочно инвариантных) теорий, когда скалярное поле взаимодействует с калибровочным векторным полем, нефизический безмассовый голдстоуновский бозон «съедается» калибровочным векторным бозоном, который в результате этого приобретает массу. (При этом общее число степеней свободы остается неизменным.) В этом состоит механизм Хиггса.

 

Как известно, локальная калибровочная инвариантность может быть обеспечена при помощи введения вместо обычных производных ковариантных производных. Локальные калибровочные преобразования относительно группы U(1) и соответствующий ковариантный лагранжиан имеют следующий вид:

 

ФОРМУЛА

 

где α(х) — произвольная действительная функция,

 

ФОРМУЛА

 

где Fμν = ∂μAγ - ∂γAμ — тензор векторного поля; Dμϕ(x)=[ ∂μ+ieAμ(x)]ϕ(x), — ковариантная производная, где е — электрический заряд; Аμ(х) — 4-мерный векторный потенциал.

 

На языке современной дифференциальной геометрии векторное поле Аμ(х) — связность на главном U(1) — расслоении; D — ковариантная производная на расслоении, определяемая связностью; Fμν — тензор кривизны, ϕ(х) — сечение расслоения.

 

В случае μ2 > 0 ковариантный лагранжиан описывает взаимодействующее с электромагнитным полем массивное заряженное скалярное поле. В случае μ2 < 0 применение механизма спонтанного нарушения симметрии дает следующий лагранжиан:

 

ФОРМУЛА

 

Векторное поле Аμ приобретает таким образом массу eν, где e — постоянная взаимодействия векторного и скалярного полей (электрический заряд).

 

Исходное безмассовое векторное поле имеет две степени свободы. Соответствующее массивное векторное поле имеет три степени свободы. Бозон η интерпретируется как физический бозон Хиггса, имеющий массу —2μ2. Голдстоуновский бозон ξ интерпретируется как нефизический; он отдает свою степень свободы векторному полю и может быть устранен при помощи изменения параметризации поля ϕ(х).

 

Если параметризовать поле ϕ(х) в виде ФОРМУЛА, а затем избавиться от сомножителя ФОРМУЛА при помощи локального калибровочного преобразования, то возникает плотность лагранжиана, не содержащая поле ξ(х):

 

ФОРМУЛА

 

В общем случае в результате применения механизма Хиггса возникает несколько голдстоуновских бозонов, число которых равно разнице между размерностью калибровочной группы и размерностью подгруппы ненарушенной симметрии, относительно которой вакуумные состояния инвариантны. Эта последняя размерность совпадает с числом векторных полей, которые остаются безмассовыми. Остальные поля (число которых равно числу голдстоуновских бозонов) «съедают» голдстоуновские бозоны, которые таким образом приобретают массу. В этом состоит теорема Голдстоуна.

 

В случае электрослабой модели размерность калибровочной группы ФОРМУЛА равна четырем, а размерность подгруппы ненарушенной симметрии равна единице. При этом механизм Хиггса позволяет придать массу не только слабым калибровочным бозонам W± и Z (слабые взаимодействия являются короткодействующими. Поэтому они переносятся массивными полями), сохраняя при этом массу фотона нулевой, но также и фермионам, которые в исходном лагранжиане являются безмассовыми. Массы фермионов генерируются в результате их взаимодействия с полем Хиггса.

 

Калибровочной группе электрослабой модели соответствуют четыре векторных поля: Аi = ((Аi)μ), B = (В)μ. Индекс i = 1, 2, 3 соответствует трем генераторам группы SU(2). Содержащая эти калибровочные поля и скалярное поле часть лагранжиана имеет следующую структуру:

 

ФОРМУЛА

 

где ФОРМУЛА — ковариантная производная; ФОРМУЛА — тензор неабелева калибровочного поля; ФОРМУЛЫ — тензор абелева калибровочного поля; В = (Вμ); ξ = ξijk — символ Леви-Чивита, g, g' — константы взаимодействия, соответствующие подгруппам SU(2) и U(1) группы электрослабой симметрии; I = (Ii), Y — генераторы этих подгрупп. Скалярное поле ϕ является комплексным дублетом (это минимальный выбор).

 

В результате применения механизма Хиггса возникают три голдстоуновских бозона (3=4-1, то есть размерность калибровочной группы минус размерность группы ненарушенной симметрии), которые «поглощаются» тремя векторными полями, приобретающими в результате этого массы, тогда как четвертое векторное поле остается безмассовым. Исходный лагранжиан преобразуется в следующий лагранжиан:

 

ФОРМУЛЫ

 

Мы опустили индексы, но суммирование по ним подразумевается.

 

Наблюдаемые бозоны W±, Z, А представляются следующим образом:

 

W± = (А1±А2) — два заряженных массивных векторных бозона.

 

ФОРМУЛЫ —  два нейтральных бозона. Бозон А является фотоном.

 

Параметр θw называется углом смешивания Вайнберга. Он выражается через константы взаимодействия g и g' и может быть принят в качестве свободного параметра теории.

 

В случае минимального выбора скалярного поля (комплексный дублет) отношение масс W- и Z-бозонов равно cos θw. Лагранжин электрослабой модели содержит три свободных параметра: g, v, g (или θw).

 

Все три параметра электрослабой теории, g, v, g’ (или θw), и, следовательно, массы бозонов могут быть определены, исходя из экспериментальных значений заряда электрона e (который идентифицируется как e = g sin θw, постоянной Ферми GF и (sin θw)2. (Если принять во внимание три поколения фермионов, то возникают три дополнительных свободных параметра.)

 

Полный лагранжиан единой электрослабой теории содержит также лептоны, а лагранжиан Стандартной модели, объединяющей электрослабые и сильные взаимодействия, содержит еще кварки и глюоны.

 

Фермионная часть лагранжиана содержит калибровочно инвариантный кинетический член, описывающий взаимодействие фермионовс электрослабыми калибровочными бозонами, и калибровочно инвариантный член, описывающий взаимодействие фермионов со скалярным полем (юкавовский член). При этом массивные члены в лагранжиане отсутствуют. Фермионные массы также генерируются механизмом Хиггса.

 

Кинетический член лагранжиана может быть представлен в виде суммы взаимодействий трех заряженных «токов» с соответствующими бозонами и взаимодействия нейтрального тока с Z-бозоном.

 

Масса лептонов полностью объясняется механизмом спонтанного нарушения симметрии, то есть существованием поля Хиггса. Напротив, масса адронов (то есть частиц, состоящих из кварков) лишь в очень малой степени объясняется механизмом спонтанного нарушения симметрии. Большая часть их массы обязана природе сильного взаимодействия, то есть большому значению постоянной сильного взаимодействия. Тем не менее, в отсутствие поля Хиггса никакой массы вообще бы не возникло. Поэтому можно сказать, что поле Хиггса — причина происхождения массы во Вселенной.