Механика твердого деформируемого тела

В этой статье приводятся основные уравнения механики твердого деформируемого тела и необходимые соотношения, используемые в последующих статьях. Основной задачей механики твердого деформируемого тела является построение математических моделей процессов деформирования конструкций. Эта задача решается путем математического построения обоснованных определяющих уравнений, связывающих между собой напряжения, перемещения и деформации точек тела при внешних воздействиях.

В то же время определяющие соотношения между напряжениями и деформациями могут быть правильно математически сформулированы лишь на основе обобщения результатов экспериментальных исследований. Требования к направленности экспериментальных исследований формулируются в процессе построения математической модели. Такой подход носит название феноменологического подхода.

Основной гипотезой механики деформируемого тела является так называемая гипотеза о стоимости строения тела. По этой гипотезе сплошное тело, то есть тело непрерывное до деформации остается непрерывным и после деформации; непрерывным остается любой объем тела, в том числе и микрообъем. Поэтому деформации и перемещения точек тела являются непрерывными функциями координат.

Таким образом, в классической механике деформируемого твердого тела не учитывается дискретное атомистическое строение вещества и движение отдельных молекул. В механике сплошной среды деформации определяются с помощью феноменологических понятий, подтверждаемых макроопытом. Можно считать, что все величины, характеризующие напряжения и деформации являются статистическими средними величинами в конгломерате зерен металлов и в других технических конструкционных материалов. Взаимоотношения между механикой сплошной среды и физической теорией строения вещества - это взаимоотношения между макро- и микрофизикой.

Другими гипотезами механики сплошной среды является наделение материала тела свойствами естественно ненапряженного состояния, шаровой изотропии, совершенной однородности. Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии предполагает, что начальные напряжения в теле, характер и величина которых зависит от истории его возникновения, полагаются равными нулю. В соответствии с этим определяемые напряжения являются приростом напряжений в рассматриваемых точках по отношению к неизвестным начальным напряжениями в этих же точках.

Шаровая изотропия материала проявляется в том, что его физико-механические свойства одинаковы ко всем направлениям, проведенным из каждой произвольной точки: любую плоскость, проходящую через эту точку, можно рассматривать как плоскость симметрии. Полагая, что этим свойством обладают все микрообъемы материала, приходим к понятию однородного изотропного тела.

Механика сплошной среды не рассматривает микропроцессы в реальных телах. Она описывает процессы деформирования с макроскопической точки зрения, не вдаваясь в физическую суть происходящих явлений, и опирается на феноменологическую сторону процессов.

Напряженное и деформированное состояние в точке тела полностью определено, если в ней известны тензоры напряжений и деформаций. Тензор напряжений Т_а имеет вид квадратной матрицы

В силу закона взаимности (парности касательных напряжений), впервые доказанным Коши, для определения напряженного состояния достаточно знать только шесть компонент тензора напряжений, так как

Деформированное состояние в окрестности произвольной точки тела определяется тензором деформаций Тr, который также имеет вид квадратной матрицы

где введены обозначения: Ԑх, Ԑу, Ԑz: - относительные линейные деформации, ϒxy, ϒyz, ϒzx - относительные угловые деформации, причем в соответствии с определением относительной угловой деформации

Напряженное и деформированное состояние в точке можно описать тремя главными нормальными напряжениями Ϭ₁, Ϭ₂, Ϭ₃, действующими в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через рассматриваемую точку, и тремя главными удлинениями Ԑ₁, Ԑ₂, Ԑ₃. Если деформируемое тело изотропно, то направления главных деформаций совпадают с соответствующими направлениями главных напряжений. При определенных условиях деформирования, например, при сложном нагружении, это правило может нарушаться.

Связь между главными напряжениями в точке тела и напряжениями на произвольно ориентированной площадке, проходящей через эту точку, описывается кубическим уравнением

коэффициенты которого определяются по формулам

Корнями этого уравнения являются главные нормальные напряжения Ϭ₁ ≥ Ϭ₂ ≥ Ϭ₃. Так как главные напряжения не изменяются при повороте координатных осей, то коэффициенты уравнения (1.5) являются инвариантами тензора напряжений по отношению к повороту координатных осей. Любая функция трех главных напряжений инвариантна по отношению к координатной системе и может быть названа инвариантом напряженного состояния.

А.А. Ильюшин ввел понятия простого и сложного нагружения. Если все компоненты тензора напряжений изменяются пропорционально одному параметру, то нагружение будет простым, в противном случае оно будет сложным. Главные относительные удлинения Ԑ₁ ≥ Ԑ₂ ≥ Ԑ₃ определяются как корни кубического уравнения

Величины ϴ₁, ϴ₂, ϴ₃ являются инвариантами тензора деформаций и определяются следующим образом

Тензор напряжений можно представить в виде суммы шарового тензора Т_Ϭ⁽⁰⁾ девиатора тензора напряжений D_Ϭ

здесь Ϭ₀ = 1/3 (Ϭ_x + Ϭ_y + Ϭ_z) - среднее напряжение.

Тензор деформаций тоже можно представить в виде суммы шарового тензора и девиатора тензора деформаций D_Ԑ

здесь Ԑ₀ = 1/3 (Ԑ _x + Ԑ _y + Ԑ _z) - средняя деформация, причем Ԑ₀ = 1/3ϑ где ϑ - относительное изменение объема. Девиатором деформаций оценивается степень отклонения деформированного состояния, описываемого тензором деформаций, от гидростатического растяжения - сжатия. Таким образом, если тело находится в однородном деформированном состоянии, описываемом шаровым тензором деформаций, то его форма не изменится. Если деформированное состояние описывается девиатором деформаций, то изменяется его форма, но не объем.

При решении задач механики твердого тела удобно пользоваться обобщенными напряжениями и обобщенными деформациями, которые называются интенсивностью напряжений Ϭ_i и интенсивностью деформаций Ԑ_i и определяются по формулам А.А. Ильюшина

При расчете конструкций используется модель плоской задачи теории упругости и гипотеза о прямой нормали. В этом случае интенсивность напряжений Ϭ_i, и интенсивность деформаций Ԑ_i определяются по формулам

Интенсивность напряжений и интенсивность деформаций не имеют физического смысла, так как не могут быть определены как напряжения и деформации, действующие на какой-либо площадке. Однако эти параметры по сравнению с другими характеристиками напряженно-деформированного состояния имеют ряд преимуществ. Например, при одноосном растяжении интенсивность напряжений равна растягивающему напряжению Ϭ_i = Ϭ₁ = Ϭ_x, а интенсивность деформаций (при µ = 0,5) равна деформации в направлении приложенного усилия.

А.А. Ильюшин ввел понятия тензоров подобия: направляющего тензора напряжений D_Ϭ* и направляющего тензора деформаций D_Ԑ*. Направляющий тензор напряжений представляет собой девиатор тензора напряжений, компоненты которого разделены на модуль девиатора напряжений Ϭ (D_Ϭ* -D_Ϭ/Ϭ). Модуль девиатора напряжений определяется по формуле

Сравнивая формулы (1.7) и (1.6) замечаем, что они отличаются лишь коэффициентами и справедлива зависимость:

Положительную величину

называют модулем девиатора деформаций. Направляющим тензором деформации называют девиатор тензора деформаций, все компоненты которого разделены на модуль девиатора деформаций (D_Ԑ* = D_Ԑ / Ԑ). Сравнивая формулы (1.8) и (1.6) замечаем, что они отличаются лишь коэффициентами и справедлива зависимость:

Задачи механики твердого деформируемою тела описываются фундаментальной системой уравнений, которая содержит три группы уравнений: статические, геометрические и физические. Путем введения дополнительных гипотез из фундаментальной системы уравнений получаются разрешающие уравнения, которые используются для определения напряженно-деформированною состояния конкретных конструкций.